Question

已知函數f（x）=cos²x+

3

sinxcosx+2sinxcos（x+

π

6

），（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及對稱軸方程；
（Ⅱ）△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（C+

π

12

）=0，且

CA

•

CB

=8，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,平面向量數量積的運算

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）由倍角公式和兩角和的正弦公式化簡解析式可得f（x）=2sin(2x+

π

6

)，即可求最小正周期及對稱軸方程；
（Ⅱ）化簡已知可得C=

π

3

，由

CA

•

CB

=bccosC=8，可得bc=16，即可求△ABC的面積．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=cos2x+

3

sinxcosx+2sinx(

3

2

cosx-

1

2

sinx)
=

3

sin2x+cos2x-sin2x
=

3

sin2x+cos2x=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)
=2sin(2x+

π

6

)
所以，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，得：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
所以，對稱軸方程是：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z

（Ⅱ）f(C+

π

12

)=2sin[2(C+

π

12

)+

π

6

]=2sin(2C+

π

3

)=0
得2C+

π

3

=π，
∴C=

π

3

CA

•

CB

=bccosC=8，

1

2

bc=8，
∴bc=16
∴S△ABC=

1

2

absinA=

1

2

×16×

3

2

=4

3

點評：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數公式、倍角公式，三角形面積公式的應用，考察了平面向量數量積的運算，三角函數的圖象與性質，綜合性強，屬于中檔題．