Question

【題目】如圖，四邊形 為菱形，四邊形 為平行四邊形，設 與 相交于點 ， ．

（1）證明：平面 平面 ；
（2）若 與平面 所成角為60°，求二面角 的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接 ，

∵四邊形 為菱形，

∵ ，

在 和 中，

， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ 平面 ，

∵ 平面 ，

∴平面 平面 ；

（2）

解法一：過 作 垂線，垂足為 ，連接 ，

易得 為 與面 所成的角，

∴ ，

∵ ，

∴ 平面 ，

∴ 為二面角 的平面角，

可求得 ，

在 中由余弦定理可得： ，

∴二面角 的余弦值為 ；

解法二：如圖，在平面 內，過 作 的垂線，交 于 點，

由（1）可知，平面 平面 ，

∴ 平面 ，

∴直線 兩兩互相垂直，

分別 為 軸建立空間直角坐標系 ，

易得 為 與平面 所成的角，∴ ，

則 ，

，

設平面 的一個法向量為 ，則

且 ，

∴ ，且

取 ，可得平面 的一個法向量為 ，

同理可求得平面 的一個法向量為 ，

∴ ，

∴二面角 的余弦值為 ．

【解析】（1）做輔助線，連接EG，通過證明△EAD和△EAB全等，得到ED=EB，即EG⊥BD。四邊形ABCD為菱形，則有AC⊥BD，故BD⊥平面ACFE，進而可以證明兩個平面垂直。（2）分別 為 軸建立空間直角坐標系 ，設出平面 的一個法向量為 ，利用法向量求出二面角B-EF-D的余弦值。