Question

【題目】某廠生產不同規格的一種產品，根據檢測標準，其合格產品的質量y（g）與尺寸x（mm）之間近似滿足關系式y=axb（a，b為大于0的常數）．現隨機抽取6件合格產品，測得數據如下：

尺寸（mm）	38	48	58	68	78	88
質量（g）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

對數據作了初步處理，相關統計量的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

（Ⅰ）根據所給數據，求y關于x的回歸方程；
（Ⅱ）按照某項指標測定，當產品質量與尺寸的比在區間（ ， ）內時為優等品．現從抽取的6件合格產品中再任選3件，記ξ為取到優等品的件數，試求隨機變量ξ的分布列和期望．
附：對于一組數據（v1 ， u1），（v2 ， u2），…，（vn ， un），其回歸直線u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估計分別為 = ， = ﹣ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）對y=axb（a，b＞0）兩邊取科學對數得lny=blnx+lna，

令vi=lnxi，ui=lnyi得u=bv+lna，

由 = ，

ln =1， =e，

故所求回歸方程為 ．

（Ⅱ）由 ，

x=58，68，78，即優等品有3件，

ξ的可能取值是0，1，2，3，且 ，

，

，

．

其分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

∴

【解析】（Ⅰ）對y=axb（a，b＞0）兩邊取科學對數得lny=blnx+lna，令vi=lnxi，ui=lnyi得u=bv+lna，由最小二乘法求得系數 及 ，即可求得y關于x的回歸方程；（Ⅱ）由題意求得優等品的個數，求得隨機變量ξ取值，分別求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）及P（ξ=3），求得其分布列和數學期望．