Question

【題目】已知拋物線的焦點為，過點垂直于軸的直線與拋物線相交于兩點，拋物線在兩點處的切線及直線所圍成的三角形面積為.

(1)求拋物線的方程；

(2)設是拋物線上異于原點的兩個動點，且滿足，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出坐標，利用導數的幾何意義求出切線方程，得到切線與軸的交點，利用三角形的面積列方程解出，從而可得結果；（2）計算，設出方程，求出與軸的交點，聯立方程組，根據韋達定理及弦長公式可得，得出面積關于的函數，從而可得函數的最值.

(1)依題意得，

由，得，

∴拋物線在處的切線斜率為，

由拋物線的對稱性，知拋物線在處的切線斜率為，

拋物線在A處的切線方程為,

令y=0,得,

∴S=，解得.

∴拋物線的方程為.

(2)由已知可得，

設則，∴.

令直線的方程為，

聯立方程組消去得，

則，

∵，∴.

∴直線MN過定點（1，0）,

∴.

∵，

∴.

綜上所示，面積的取值范圍是.