Question

【題目】（1）在圓中有這樣的結(jié)論：對(duì)圓上任意一點(diǎn)，設(shè)、是圓和軸的兩交點(diǎn)，且直線和的斜率都存在，則它們的斜率之積為定值-1.試將該結(jié)論類比到橢圓，并給出證明.

（2）已知橢圓，，，設(shè)直線與橢圓交于不同于、的兩點(diǎn)、，記直線、、的斜率分別為、、.

（ⅰ）若直線過(guò)定點(diǎn)，則是否為定值.若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（ⅱ）若，求所有整數(shù)，使得直線變化時(shí)，總有.

Answer 1

【答案】（1）對(duì)橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè)、是橢圓和軸的兩交點(diǎn)，且直線和的斜率都存在，則它們的斜率之積為定值；證明見(jiàn)解析（2）（ⅰ）是定值；證明見(jiàn)解析（ⅱ），，，

【解析】

（1）利用類比推理得：設(shè)、是橢圓和軸的兩交點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，且直線和的斜率都存在，則它們的斜率之積為定值，若設(shè)，，，然后利用斜率公式可證出結(jié)論；

（2）由于， 恰好是橢圓與軸的交點(diǎn)，、是橢圓上任意兩點(diǎn)，所以在此題的求解中利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合（1）中得到的結(jié)論可得答案.

（1）對(duì)橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè)、是橢圓和軸的兩交點(diǎn)，且直線和的斜率都存在，則它們的斜率之積為定值，

證明：設(shè)，其中，，，

則，

（2）（ⅰ），設(shè)，，

聯(lián)立直線與橢圓方程，得，則（*）

將（*）代入，得為定值.

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)，其中，

聯(lián)立直線與橢圓方程，得，由，可得或，

由（1）得，從而，

，

符合題意的整數(shù)為，，，.