Question

【題目】函數的定義域為，若存在閉區間[m,n] D，使得函數滿足：①在[m,n]上是單調函數；②在[m,n]上的值域為[2m,2n]，則稱區間[m,n]為的“倍值區間”．下列函數中存在“倍值區間”的有 ．（填上所有正確的序號）

①；

②；

③；

④．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

試題分析：函數中存在“倍值區間”，則①在內是單調函數；②,或, ，①若存在“倍值區間”，則，∴，若存在“倍值區間”；②若存在“倍值區間”，則,，構建函數，∴，∴函數在上單調減，在上單調增，∴函數在處取得極小值，且為最小值．∵，∴，∴無解，故函數不存在“倍值區間”；③若存在“倍值區間”，則, ，∴，，若存在“倍值區間”；④，， （，）．不妨設，則函數在定義域內為單調增函數，若存在“倍值區間”，則，，∴是方程的兩個根，∴是方程的兩個根，由于該方程有兩個不等的正根，故存在“倍值區間”；綜上知，所給函數中存在“倍值區間”的有①③④．