Question

已知拋物線頂點在原點，焦點是圓x²+y²-4x+3=0的圓心F，如圖．
（1）求拋物線的方程；
（2）是否存在過圓心F的直線l與拋物線、圓順次交于A、B、C、D，且使得

.

AB

.

，2

.

BC

.

，

.

CD

.

成等差數列，若直線l存在，求出它的方程；若直線l不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）化圓的一般式方程為標準方程，求出圓的圓心，則拋物線的方程可求；
（2）假設滿足條件的直線存在，分斜率存在和不存在分類討論，斜率不存在時直接寫出方程，代入曲線方程后求出線段的長度驗證，斜率存在時設出直線方程，和拋物線方程聯立后化為關于x的一元二次方程，由根與系數關系得到A和D的橫坐標的和，由給出的條件轉化為直線截拋物線所得弦長，利用拋物線的定義列式求解．

解答：解：（1）圓的方程為（x-2）²+y²=1，圓心F坐標是（2，0），
即拋物線的焦點坐標是（2，0），所以拋物線的方程是y²=8x．

（2）∵|AB|，2|BC|，|CD|成等差數列，且BC為圓的直徑，
∴|AB|+|CD|=4|BC|=8，|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10．
設直線l存在，則當直線的斜率不存在時，直線l的方程是x=2，
代入y²=8x，得y=±4，所以|AD|=|y₁-y₂|=8≠10，此時直線l不合題意．
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-2）（k≠0），且設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
解方程組

y=k(x-2) y2=8x

，消去y得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0．
∴x1+x2=

4k2+8

k2

，又∵拋物線的準線方程為x=-2，∴由拋物線的定義得：
|AD|=（x₁+2）+（x₂+2）=10，即x₁+x₂=6，∴

4k2+8

k2

=6，解得k=±2．
此時△＞0，所以存在符合題意的直線l，其方程為y=±2（x-2），
綜上，存在直線l，其方程為2x-y-4=0或2x+y-4=0．

點評：本題考查了拋物線的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數形結合的解題思想方法及數學轉化思想方法，考查了分類討論的數學思想方法，靈活運用拋物線的定義是解答此題的關鍵，屬難題．