Question

【題目】給定數列. 對，該數列前項的最大值記為，后項的最小值記為，.

（1）設數列為3,4,7,1. 寫出的值；

（2）設是公比大于的等比數列，且，證明是等比數列；

（3）若，證明是常數列.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據的定義，求得的值.

（2）根據數列的單調性，確定，根據等比數列的定義，證得是等比數列；

（3）先證得后面的項，都不小于，然后證得后面的項，都不大于，由此證得后面的項，和都相等，即證得數列的每一項和都相等，也即證得是常數列.

（1），，

（2）因為是公比大于的等比數列，且

所以.

所以當時，

所以當時，

所以是等比數列.

（3）因為即，故，使，且對，都有……①.

若，則；

若，因為，所以，

所以對，都有……②.

由①②知，對，都有.

綜上，.

因為，所以，所以，

所以，使.

同上可證.

以此類推，由于僅有有限項，所以是常數列.