Question

已知Q₂=

x2+y2 2

稱為x，y的二維平方平均數，A₂=

x+y

2

稱為x，y的二維算術平均數，G₂=

xy

稱為x，y的二維幾何平均數，H₂=

2

1 x + 1 y

稱為x，y的二維調和平均數，其中x，y均為正數．
（Ⅰ）試判斷G₂與H₂的大小，并證明你的猜想．
（Ⅱ）令M=A₂-G₂，N=G₂-H₂，試判斷M與N的大小，并證明你的猜想．
（Ⅲ）令M=A₂-G₂，N=G₂-H₂，P=Q₂-A₂，試判斷M、N、P三者之間的大小關系，并證明你的猜想．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）,歸納推理

專題：分析法,不等式的解法及應用

分析：先猜想結論，再分析使結論成立的充分條件，一直分析到使猜想成立的充分條件顯然具備，從而猜想得證．

解答： 解：（I）G₂≥H₂，采用分析法．
欲證G₂≥H₂，
即證

xy

≥

2xy

x+y

，
即證1≥

2 xy

x+y

，
即證x+y≥2

xy

，
上式顯然成立，
所以G₂≥H₂；…3’
（II）M≥N．
欲證M≥N，
即證

x+y

2

+

2xy

x+y

≥2

xy

，
由均值不等式可得：

x+y

2

+

2xy

x+y

≥2

x+y 2 • 2xy x+y

=2

xy

，等號成立的條件是x=y，
所以原命題成立…6’
（III）M≥P≥N．
首先證明M≥P：
欲證M≥P，
即證x+y≥

xy

+

x2+y2 2

，
即證x2+y2+2xy≥xy+

x2+y2

2

+

2xy(x2+y2)

，
即證

(x+y)2

2

≥

2xy(x2+y2)

，
即證（x+y）⁴≥8xy（x²+y²），
即證（x-y）⁴≥0，
上式顯然成立，等號成立的條件是x=y，故M≥P．
再證P≥N：
欲證P≥N，
即證

x2+y2 2

-

xy

≥

x+y

2

-

2xy

x+y

=

(x-y)2

2(x+y)

，
即證

1

2

•

(x-y)2

x2+y2 2 + xy

≥

(x-y)2

2(x+y)

，當x=y時，上式顯然成立，
當x≠y時，即證x+y≥

xy

+

x2+y2 2

，
而此式子在證明M≥P已經成功證明，所以原命題成立…14’

點評：本題主要考查利用分析法證明不等式，利用用分析法證明不等式的關鍵是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經顯然具備為止，屬于中檔題．