Question

已知函數f（x）=2ax-ln2x，其中a∈R．
（1）當a=1時，求f（x）在點（

1

2

，f（

1

2

））處切線方程，并判斷切線與f（x）的交點個數，
（2）若f（x）存在零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數零點的判定定理

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）當a=1時，化簡f（x）=2x-ln2x并求導f′（x）=2-

1

x

；從而求切線方程，作圖判斷交點的個數；
（2）f（x）存在零點可化為y=2ax與y=ln2x有交點，作函數y=2ax與y=ln2x的圖象，結合圖象求解．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=2x-ln2x，
f′（x）=2-

1

x

；
故f′（

1

2

）=2-2=0，f（

1

2

）=1；
故切線方程為y-1=0；
則切線與f（x）的交點個數即方程2x-ln2x=1的解的個數，
即函數y=ln2x與y=2x-1的交點的個數，
作函數y=ln2x與y=2x-1的圖象如下，

故切線與f（x）的交點個數為1；
（2）f（x）存在零點可化為y=2ax與y=ln2x有交點，
作函數y=2ax與y=ln2x的圖象如下，

當直線y=2ax與y=ln2x相切時，
設切點為（x，ln2x），則

ln2x

x

=

1

x

；
故2x=e；
故

1

x

=

2

e

=2a；
故a=

1

e

；
結合函數圖象知，a≤

1

e

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及數形結合的數學思想應用，屬于中檔題．