Question

設函數的定義域是,其中常數.(注:
(1)若,求的過原點的切線方程.
(2)證明當時,對,恒有.
(3)當時,求最大實數,使不等式對恒成立.

Answer 1

(1)切線方程為和.(2)詳見解析.(3)的最大值是6.

試題分析：(1)一般地，曲線在點處的切線方程為：.注意，此題是求過原點的切線，而不是求在原點處切線方程，而該曲線又過原點，故有原點為切點和原點不為切點兩種情況.當原點不為切點時需把切點的坐標設出來.(2)不等式可化為，要證明這個不等式，只需利用導數求出在上的值域即可.
(3)令,則問題轉化為對恒成立.注意到,所以如果在單調增,則必有對恒成立.下面就通過導數研究的單調性.
試題解析：(1).若切點為原點,由知切線方程為;
若切點不是原點,設切點為,由于,故由切線過原點知,在內有唯一的根.
又,故切線方程為.
綜上所述,所求切線有兩條,方程分別為和.
(2)當時,令,則,故當時恒有,即 在單調遞減,故對恒成立.
又,故,即,此即

(3)令,則,且,顯然有,且 的導函數為

若,則,易知對恒成立,從而對恒有,即在單調增,從而對恒成立,從而在單調增,對恒成立.
若,則,存在,使得對恒成立,即對恒成立,再由知存在,使得對恒成立,再由便知不能對恒成立.
綜上所述,所求的最大值是6.