Question

【題目】如圖，已知橢圓C0： ，動圓C1： ．點A1 ， A2分別為C0的左右頂點，C1與C0相交于A，B，C，D四點．

（1）求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；
（2）設動圓C2： 與C0相交于A′，B′，C′，D′四點，其中b＜t2＜a，t1≠t2 ． 若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明： 為定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設A（x1，y1），B（x1，﹣y1），

∵A1（﹣a，0），A2（a，0），則直線A1A的方程為 ①

直線A2B的方程為y=﹣ （x﹣a）②

由①×②可得： ③

∵A（x1，y1）在橢圓C0上，

∴

∴

代入③可得：

∴ ；

（2）

證明：設A′（x3，y3），

∵矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等

∴4|x1||y1|=4|x3||y3|

∴ =

∵A，A′均在橢圓上，

∴ =

∴ =

∴

∵t1≠t2，∴x1≠x3．

∴

∵ ，

∴

∴ =a2+b2為定值

【解析】（1）設出線A1A的方程、直線A2B的方程，求得交點滿足的方程，利用A在橢圓C0上，化簡即可得到M軛軌跡方程；（2）根據矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，可得A，A′坐標之間的關系，利用A，A′均在橢圓上，即可證得 =a2+b2為定值．