Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點E是PD的中點．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求二面角E-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）欲證PB∥平面AEC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PB與平面AEC內(nèi)一直線平行即可，連BD交AC于點O，連EO，則EO是△PDB的中位線則EO∥PB，滿足條件；
（2）取AD的中點F，連EF，F(xiàn)O，根據(jù)定義可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面角E-AC-B與二面角E-AC-D互補(bǔ)．

解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC
又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB
連BD交AC于點O，連EO，
則EO是△PDB的中位線，
∴EO∥PB
∴PB∥平面AEC
（2）取AD的中點F，連EF，F(xiàn)O，
則EF是△PAD的中位線，
∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD
同理FO是△ADC的中位線，
∴FO∥AB，F(xiàn)O⊥AC由三垂線定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角．
又FO=

1

2

AB=

1

2

PA=EF
∴∠EOF=45°而二面角E-AC-B與二面角E-AC-D互補(bǔ)，
故所求二面角E-AC-B的大小為135°．

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及二面角等有關(guān)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．