Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，AD=1，CD=2，∠DCB=60°．
（Ⅰ） 求證：平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁；
（Ⅱ）若二面角D₁-BC-D的大小為45°，求直線CD與平面A₁BCD₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論、線面、面面垂直判定和性質(zhì)、線面角、二面角的定義即可得出．

解答：（Ⅰ）證明：在△ABD中，由余弦定理得BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos60°=1+4-2=3，
∴AD²+DB²=AB²，∴∠ADB=90°，∴AD⊥DB．
由四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴BC⊥BD．
∵D₁D⊥底面ABCD，∴DD₁⊥BC．
又BD∩DD₁=D，∴BC⊥平面BDD₁．好
∵BC?平面A₁BCD₁，∴平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：BC⊥平面BDD₁，∴∠D₁BD是二面角D₁-BC-D的平面角，
∴∠D1BD=45°，∴DD1=DB=

3

．
取BD₁的中點M，連接DM、CM，則DM⊥BD₁，又平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁；
∴DM⊥平面A₁BCD₁，∴∠DCM是直線CD與平面A₁BCD₁所成的角．
在Rt△DCM中，∵DM=

1

2

BD1=

6

2

，CD=2，∴sin∠DCM=

DM

DC

=

6

4

．
∴直線CD與平面A₁BCD₁所成的角的正弦值是

6

4

．

點評：熟練掌握余弦定理、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理、線面角、二面角的定義是解題的關(guān)鍵．