Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且 PA=AB=AC=2，點E是PD的中點．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）求證：PB∥平面AEC；
（3）求三棱錐P-AEC的體積．

Answer 1

分析：（1）欲證AC⊥PB，只需證明AC⊥平面PAB，而AB⊥AC，易證PA⊥AC，問題即可解決；      
（2）連接BD交AC于O，連接EO，證明EO∥PB，利用線面平行的判定定理即可得結論；
（3）通過體積輪換頂點公式即可求得三棱錐P-AEC的體積．

解答：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC   …（2分）
又∵AB⊥AC，PA∩AB=A            …（4分）
∴AC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴AC⊥PB   …（6分）
（2）證明：連接BD交AC于O，連接EO．在△DPB中，E是PD的中點，
又O是BD的中點，∴EO∥PB．…（8分）
又EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．…（10分）
（3）∵V_P-AEC=V_C-PAE=V_C-ADE=V_E-ADC=

1

2

V_P-ADC
∵V_P-ADC=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

∴

1

2

V_P-ADC=

2

3

…（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的性質與直線與平面平行的判定，關鍵在于熟練掌握平面垂直的性質與直線與平面平行的判定定理及其應用，屬于中檔題．