Question

設數列{a_n}、{b_n}滿足：a_n=（-1）ⁿ（n²+1），b_n=a_n+a_n+1，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求數列{b_n}的通項公式；
（3）求數列{a_n}的前100項和S₁₀₀的值．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）直接利用條件求出a₁的值；
（2）利用條件直接求解數列{b_n}的通項公式；
（3）利用a_n=（-1）ⁿ（n²+1），b_n=a_n+a_n+1，n∈N^*．推出數列{a_n}的前100項和S₁₀₀的表達式，利用等差數列求和即可．

解答： 解：（1）∵a_n=（-1）ⁿ（n²+1），
∴a1=(-1)1(12+1)=-2…（2分）
（2）∵a_n=（-1）ⁿ（n²+1），b_n=a_n+a_n+1，n∈N^*．
∴bn=(-1)n(n2+1)+(-1)n+1[(n+1)2+1]…（3分）
=（-1）ⁿ⁺¹[（n+1）²+1-n²-1]…（5分），
=（-1）ⁿ⁺¹（2n+1）…（6分）
（3）由已知，S₁₀₀=b₁+b₃+b₅+…b₉₉…（8分）
=3+7+11+…+199…（10分）
=

(3+199)×50

2

…（13分），
=5050…（14分）

點評：本題考查數列的遞推關系式的應用，數列的通項公式以及數列求和，考查計算能力．