Question

求證：
（1）

1-sin2α

2 sin(α- π 4 )

=sinα-cosα；
（2）已知

1-tanα

2+tanα

=1，求證3sin2α=-4cos2α．

Answer 1

考點：同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：（1）由同角三角函數基本關系化簡可得左邊等于右邊，從而原式成立．
（2）由同角三角函數基本關系化簡即可，可用分析法，直接法兩種方法證明．

解答： 解：（1）左邊=

(sinα-cosα)2

2 (sinα• 2 2 -cosα• 2 2 )

=

(sinα-cosα)2

sinα-cosα

=sinα-cosα=右邊
所以原式成立．
（2）解法1（分析法）：因為

1-tanα

2+tanα

=1，所以1+2tanα=0，從而2sinα+cosα=0，
另一方面，要證3sin2α=-4cos2α，只要證2sinαcosα=-4（cos²α-sin²α），
即證2sin²α-3sinαcosα-2cos²α=0，
即證（2sinα+cosα）（sinα-2cosα）=0，
由2sinα+cosα=0可得（2siα+cosα）（sinα-2cosα）=0成立，于是命題成立．
解法2（直接證明）由

1-tanα

2+tanα

=1知tanα=

1

2

所以cos2α≠0．
因為

3sin2α

-4cos2α

=

6sinαcosα

-4(cos2α-sin2α)

=-

3tanα

2(1-tan2α)

=

3×(- 1 2 )

2×(1- 1 4 )

=1
所以3sin2α=-4cos2α．

點評：本題主要考察了同角三角函數基本關系的應用，屬于基本知識的考查．