Question

【題目】奇函數f（x）定義域是（﹣1，0）∪（0，1），f（）＝0，當x＞0時，總有（x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）成立，則不等式f（x）＞0的解集為（　　）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

把已知條件（x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）變形為f′（x）ln（1﹣x2）0，可想到構造函數g（x）＝f（x）ln（1﹣x2）并判斷其單調性，結合f（）＝f（）＝0，得g（）＝g（）＝0，由單調性可得，在（﹣1，），（0，）上，g（x）＜0，而ln（1﹣x2）＜0，則f（x）＞0成立，答案可求．

∵當x＞0時，總有（x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）成立，即f′（x）ln（1﹣x2）成立，也就是f′（x）ln（1﹣x2）0成立，

又∵ln（1﹣x2）＝ln（1﹣x）+ln（1+x），

∴，即[f（x）ln（1﹣x2）]′＞0恒成立，

可知函數g（x）＝f（x）ln（1﹣x2）在（0，1）上單調遞增，

∵f（x）是奇函數，∴g（x）＝f（x）ln（1﹣x2）是奇函數，則在（﹣1，0）上單調遞增，

又f（）＝f（）＝0，∴g（）＝f（）＝0，

∴g（x）的圖象如下：

在（﹣1，），（0，）上，g（x）＜0，而ln（1﹣x2）＜0，∴f（x）＞0成立．

∴不等式f（x）＞0的解集為．

故選：B．