Question

（1）當你手握直角三角板，其斜邊保持不動，將其直角頂點提起一點，則直角在平面內的正投影是銳角、直角 還是鈍角？
（2）根據第（1）題，你能猜想某個角在一個平面內的正投影一定大于這個角嗎？如果正確，請證明；如果錯誤，則利用下列三角形舉出反例：△ABC中，，
，以∠BAC為例。

Answer 1

（1）直角在平面內的正投影是鈍角；
（2）原猜想錯誤。∠BAC在一個平面內的正投影∠BA₁C小于它本身。

（1）記Rt△ABC，∠BAC=90⁰，記直角頂點A在平面上的正投影為A_1­，，且AA₁=，則因為，所以∠BA₁C為鈍角，即直角在平面內的正投影是鈍角；
（2）原猜想錯誤。對于△ABC， ，記直角頂點A在平面上的正投影為A_1­，設AA₁=，則，令∠BAC=∠BA₁C，則由余弦定理得：
=，解之得：，即當點A離平面的距離是時，∠BAC在一個平面內的正投影∠BA₁C等于它本身；
若取，則，從而，
，可知∠B A₁C∠BAC，即∠BAC在一個平面內的正投影∠BA₁C小于它本身。