Question

如圖，已知是直角梯形，，，，平面．
(1) 證明：；
(2) 在上是否存在一點，使得∥平面？若存在，找出點，并證明：∥平面；若不存在，請說明理由；
（3）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明見解析（2）存在（3）二面角的余弦值為

（1）由已知易得，．
∵ ， ∴ ，即．
又 ∵ 平面，平面，∴ ．
∵ ，∴ 平面．又∵ 平面， ∴ ．
(2) 存在．取的中點為,連結,則∥平面．證明如下：
取的中點為,連結． ∵，， ∴，且，
∴四邊形是平行四邊形，即．
∵ 平面，∴ 平面.
∵分別是的中點，∴ ．
∵ 平面，∴ 平面．∵ ，∴平面平面．
∵ 平面，∴平面．
（3）如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則有，，，，，，， 
由題意知，平面，所以是平面的法向量．
設是平面的法向量，
則，即．
所以可設．所以．
結合圖象可知，二面角的余弦值為．