Question

【題目】已知函數，若，則實數的取值范圍為__________.

Answer 1

【答案】.

【解析】

作出函數f（x）的圖象，設f（a）=f（b）=t，根據否定，轉化為關于t的函數，構造函數，求出函數的導數，利用導數研究函數的單調性和取值范圍即可．

作出函數f（x）的圖象如圖：

設f（a）=f（b）=t，

則0＜t≤，

∵a＜b，∴a≤1，b＞﹣1，

則f（a）=ea=t，f（b）=2b﹣1=t，

則a=lnt，b=（t+1），

則a﹣2b=lnt﹣t﹣1，

設g（t）=lnt﹣t﹣1，0＜t≤，

函數的導數g′（t）=﹣1=，

則當0＜t≤時g′（t）＞0，

此時函數g（t）為增函數，

∴g（t）≤g（）=ln﹣﹣1=﹣﹣2，

即實數a﹣2b的取值范圍為（﹣∞，﹣﹣2]，

故答案為：（﹣∞，﹣﹣2]．