【題目】如圖，空間幾何體
，△
、△
、△
均是邊長為2的等邊三角形，平面
平面，且平面
平面，
為
中點．
（1）證明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）詳見解析（2）
【解析】
（1）分別取
，
中點
，
，連接
，
，
，
，
，通過面面平行的判定定理，證得面
面
，從而證得
平面
.（2）方法一（向量法）：以點為原點，以
為
軸，以
為
軸，以
為
軸，建立空間直角坐標系，利用平面
和平面
的法向量，計算二面角的余弦值.方法二（幾何法）：過點作垂線，垂足為
，連接
.由此作出二面角的平面角
并證明，解直角三角形求得二面角的余弦值.
（1）分別取，中點，，連接，，，，
由面
面
且交于，
平面
，
有
面
由面
面且交于，
平面，
有
面
所以
,
，所以
，
由
有
，
，所以
，
,所以面面，所以
（2）
法1：以點為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖所示空間直角坐標系
由面，所以面的法向量可取
點
,點
,點
，
,
，
設面的法向量
，所以
，取
設二面角
的平面角為
，據判斷其為銳角.
法2：過點作垂線，垂足為，連接.
由（1）問可知
又因為
，所以
平面
，則有
.
所以為二面角的平面角.
由題可知
，所以
,則
所以，
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
，直線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線與直線的直角坐標方程.
（2）直線與軸的交點為
，與曲線的交點為
，
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術；蘊含了極致的數學美和豐富的傳統文化信息，現有一幅剪紙的設計圖，其中的4個小圓均過正方形的中心，且內切于正方形的兩鄰邊.若在正方形內隨機取一點，則該點取自黑色部分的概率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
，
，
，且
，
．
（1）證明：
平面
；
（2）在線段
上，是否存在一點
，使得二面角
的大小為
？如果存在，求
的值；如果不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，
軸上方的點
在拋物線上，且
，直線
與拋物線交于
，
兩點（點，與
不重合），設直線
，
的斜率分別為
，
.
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）當
時，求證：直線恒過定點并求出該定點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正方體ABCD－ABCD中,平面
垂直于對角線AC,且平面截得正方體的六個表面得到截面六邊形,記此截面六邊形的面積為S,周長為l,則（ ）
A. S為定值,l不為定值 B. S不為定值,l為定值
C. S與l均為定值 D. S與l均不為定值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】關于函數
（1）
是
的極小值點；
（2）函數
有且只有1個零點；
（3）
恒成立；
（4）設函數
，若存在區間
，使
在
上的值域是
，則
．
上述說法正確的序號為_______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設一個袋子里有紅、黃、藍色小球各一個現每次從袋子里取出一個球(取出某色球的概率均相同)，確定顏色后放回，直到連續兩次均取出紅色球時為止，記此時取出球的次數為ξ，則ξ的數學期望為_____ .
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的最小正周期為
，其圖象關于直線
對稱．給出下面四個結論：①將
的圖象向右平移
個單位長度后得到函數圖象關于原點對稱；②點
為圖象的一個對稱中心；③
；④在區間
上單調遞增．其中正確的結論為（ ）
A.①②B.②③C.②④D.①④
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