Question

【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，點C為半圓上一點，，平面ABC，D為PA中點，.

（1）求證：；

（2）求直線BD與平面PBC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）推導出PA⊥BC，BC⊥AC，由此能證明BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC．

（2）推導出BC⊥平面PAC，從而平面PBC⊥平面PAC，作DE⊥PC于點E，連接BE，則DE⊥平面PBC，∠DBE是直線BD與平面PBC所成的角．由此能求出直線BD與平面PBC所成角的正弦值．

（1）平面

為圓的直徑

又故平面

（2）由（1）知平面，又平面，

故平面平面

而平面平面，

作于點，連接，則平面

故是直線與平面所成的角．

由題意有，，

由與相似有，即

又

在中，

故直線BD與平面PBC所成角的正弦值是．