Question

如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，且平面，，為的中點，．

(Ⅰ) 求證：//；
(Ⅱ)若， 求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；(Ⅱ) .

試題分析：（Ⅰ）依題意，設與的交點，說明為的中位線，//，從而//；(Ⅱ) 用定義法與向量法求解，用定義法，必須作出二面角的平面角，在利用相似三角形對應邊成比例及直角三角形中三角函數的定義求解；用向量法，需要建立恰當的空間直角坐標系，本題以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系最佳，求平面的法向量與平面的一個法向量為， 利用公式求解.
試題解析：（Ⅰ）證明： 連接，設與相交于點，連接，

∵ 四邊形是平行四邊形，∴點為的中點．
∵為的中點，∴為的中位線，
∴//，             2分
∵，
∴//．          4分
(Ⅱ) 解法一 ： ∵平面，//， 則平面，故，
又, 且，
∴ ．               6分
取的中點，連接，則//，且 ．
∴ ．
作，垂足為，連接，由于，且，
∴，∴ ．
∴為二面角的平面角．    9分
由∽，得，得，
在中，．
∴ 二面角的余弦值為．      12分
(Ⅱ) 解法二： ∵平面，， 則平面，故，
又, 且，∴．            6分

以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系．則，，，，， 
∴， ，
求得平面的法向量為，
又平面的一個法向量為，
∴  .    
∴ 二面角的余弦值為.    12分