Question

【題目】(2015·江蘇）某山區外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為了l1, l2 ， 山區邊界曲線為C ， 計劃修建的公路為l ， 如圖所示，M ， N為C的兩個端點，測得點M到l1, l2 的距離分別為5千米和40千米，點N到l1, l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1, l2所在的直線分別為x ， y軸，建立平面直角坐標系xOy ， 假設曲線C符合函數y=（其中a ， b為常數）模型.

（1）求a ， b的值；
（2）設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.
①請寫出公路l長度的函數解析式f(t)，并寫出其定義域；
②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度.

Answer 1

【答案】
（1）

a=1000, b=0

（2）

①f(t)=,定義域為[5,20]②t=10, f(t)min=15千米。

【解析】由題意得函數y= 過點位(5,40), (20, 2.5)，列方程組就可解當a. b的值(2) ①求公路了長度的函數解析式}I川，就是求出直線l與x，y軸交點，再利用兩點間距離公式計算即可， 關鍵是利用導數幾何意義求出直線了方程，再根據M， N為C的兩個端點的限制條件得定義域為[5,20]②對函數解析式f(t)解析式根式內部分單獨求導求最值，注意列表說明函數變化趨勢.
試題解析:(1)由題意知，點M，N的坐標分別為（5,40），（20, 2.5）。將其代入y=,得, 解得a=1000, b=0 。
（2） ①由（1）知， y=(5≤x≤20), 則點P的坐標為（t,), 設在點P處的切線l交x, y軸分別于A,B點，y=-， 則l的方程為y-=-(x-t), 由此得A（,0), B(0, ).
故f(t)==,t(5,20),
②設g(t)=t2+, 則g'(t)=2t-. 令g'(t)=0，解得t=10. 當t(5,10)時，g'(t)<0， g(t)是減函數。
當t(10,20), g'(t)>0， g(t)是減函數。從而， 當t=10時, 函數g(t)有極小值，要是最小值，所以 g(t)min=300, 此時f(t)min=15。
答：當t=10時,公路l的長度最短, 最短長度為15千米。
【考點精析】通過靈活運用函數的最值及其幾何意義，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值即可以解答此題．