Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數有唯一的極小值點，求實數的取值范圍；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）且.（2）證明見解析

【解析】

（1）對函數進行求導，分類討論根據函數有唯一極小值點，最后求出實數的取值范圍；

（2）對所要證明的式子進行變形，構造函數：，求導，最后利用函數的單調性證明出結論.

解：，

，

，，

設，

當時，，在時，，即，所以單調遞減，

在時，，，所以單調遞增，所以函數有唯一的極小值

點成立；

當時，令，得，，

在時，，即，所以單調遞減，

在時，，，所以單調遞增，

所以函數有唯一的極小值點成立；

當時，令，得，，當時不合題意，

則，且，即且，

設，，

在時，，即，所以單調遞減，

在時，，，所以單調遞增，

在時，，即，所以單調遞減，

所以函數有唯一的極小值點成立；

綜上所述，的取值范圍為且.

（2）令，，

則，

令，易知在上單增，且，

所以當時，，從而，當時，，從而，

在單減，在單增，則的最小值為，所以當時，

，即，

即，所以，

所以.