Question

如圖，已知a、b是兩條相互垂直的異面直線，其公垂線段AB的長為定值m，定長為n(n＞m)的線段PQ的兩個(gè)端點(diǎn)分別在a、b上移動(dòng)，M、N分別是AB、PQ的中點(diǎn)．

(1)求證：AB⊥MN；

(2)求證：MN的長是定值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)取PB中點(diǎn)H，連結(jié)HN，則HN∥b． 　　又∵AB⊥b∴AB⊥HN 　　同理AB⊥MH∴AB⊥平面MNH∴AB⊥MN 　　(2)∵b⊥平面PAB，∴b⊥PB． 　　在Rt△PBQ中，BQ2＝PQ2－PB2＝n2－PB2① 　　在Rt△PBA中，PA2＝PB2－AB2＝PB2－m2② 　　①、②兩式相加：PA2＋BQ2＝n2－m2 　　∵a⊥b∴∠MHN＝ 　　∴MN＝＝＝(定值)