Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，.以，為鄰邊作平行四邊形，連接和.

（1）求證：平面；

（2）線段上是否存在點，使平面與平面垂直？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，

【解析】

（1）根據線面平行的判定定理即可證明；

（2）先根據圖形建立空間直角坐標系，設出點的坐標，根據兩平面垂直得到二面角的平面角為，再分別算出兩平面的法向量，使兩個法向量的夾角的余弦值為0，即可求解.

解：（1）

證明：如圖所示：連接，

∵四邊形為平行四邊形，

∴，

又，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

又平面，

平面，

∴平面.

（2）假設存在點，使平面與平面垂直，

則平面與平面的二面角為直二面角，

設平面與平面的二面角的平面角為，則，

如圖所示：以為坐標原點，分別以射線，，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，

∵，，，

∴，，，，

∵點在上，∴設點，

∴，，，

分別設平面和平面的法向量為，，

則 ，，

即，，

∴取，，

則，

∴，即，∴，

即，∴.