Question

數(shù)列滿(mǎn)足，，其中，．
①當(dāng)時(shí)，_____；
②若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有，則的取值范圍是_____.

Answer 1

.；.

①當(dāng)λ=0時(shí)，a_n+1=a_n，利用累積法求通項(xiàng)公式后，再求a₂₀即可．
②記b_n=（n=1，2，…），則λ滿(mǎn)足
．由此可求出故λ的取值范圍．
解答：解：①當(dāng)λ=0時(shí)，
a_n+1=a_n，
∴

…
=
以上各式相乘得出
又a₁=1，
∴a_n=．
a₂₀=1/20
②記b_n=（n=1，2，），根據(jù)題意可知，且λ≠n（n∈N^*），這時(shí)總存在n₀∈N^*，滿(mǎn)足：當(dāng)n≥n₀時(shí)，b_n＞0；
當(dāng)n≤n₀-1時(shí)，b_n＜0．所以由a_n+1=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n₀為偶數(shù)，
則a_n0＜0，從而當(dāng)n＞n₀時(shí)，a_n＜0；若n₀為奇數(shù)，則a_n0＞0，
從而當(dāng)n＞n₀時(shí)a_n＞0．因此“存在m∈N^*，當(dāng)n＞m時(shí)總有a_n＜0”
的充分必要條件是：n₀為偶數(shù)，
記n₀=2k（k=1，2，），則λ滿(mǎn)足．
故λ的取值范圍是λ∈（2k-1，2k），
故答案為：1/20，（2k-1，2k），（k=1，2，），