【題目】已知函數
,
(
).
(1)求函數
的單調區間；
(2)求證:當
時,對于任意
,總有
成立．
【答案】（1）當
時,
的單調遞增區間為
,單調遞減區間為
,
；當
時,的單調遞增區間為,,單調遞減區間為；（2）詳見解析.
【解析】試題分析：（I）首先求出函數的導數，對字母a進行分類討論，根據
，可知函數單調遞增，
時函數單調遞減可得答案．（Ⅱ）要證當a＞0時，對于任意
，總有
成立，即要證明對于任意，總有
．根據（Ⅰ）可知，當時，f（x）在（0，1）上單調遞增，f（x）在（1，e]上單調遞減，從而有
，再利用導數可得，當時，g（x）在（0，a）上單調遞增，g（x）在（a，e]上單調遞減，所以
，再用作差法即可證明
．
試題解析解：（Ⅰ）函數的定義域為
，
.
當時，當
變化時，
，的變化情況如下表：
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
| ↘ | ↗ | ↘ |
當時，當變化時，，的變化情況如下表：
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
| ↗ | ↘ | ↗ |
綜上所述，
當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為，；
當時，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為. 5分 （2）由（1）可知，當時，在
上單調遞增，
；在
上單調遞減，且
. 所以
時，
.因為
，所以
，
令
，得
時，由
，得
；由
，得
，
所以函數
在
上單調遞增，在
上單調遞減.所以
.
因
，對任意
，總有
. 10分
②當
時，
在
上恒成立，
所以函數在上單調遞增，
.
所以對于任意，仍有.
綜上所述，對于任意，總有. 14分
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【題目】已知二次函數
，則下列說法不正確的是（ ）
A.其圖象開口向上，且始終與
軸有兩個不同的交點
B.無論
取何實數，其圖象始終過定點
C.其圖象對稱軸的位置沒有確定，但其形狀不會因的取值不同而改變
D.函數的最小值大于
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【題目】已知一元二次函數的最大值為
，其圖象的對稱軸為
，且與
軸兩個交點的橫坐標的平方和為
.
（1）求該一元二次函數；
（2）要將該函數圖象的頂點平移到原點，請說出平移的方式.
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【題目】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，然后寫出對應的否定命題，并判斷真假:
(1)不論
取何實數,關于
的方程
必有實數根；
(2)所有末位數字是0或5的整數都能被5整除；
(3)某些梯形的對角線互相平分；
(4)函數
圖象恒過原點.
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【題目】如圖，在三棱錐
中，平面
平面
， 
， 
， 
， 
分別為線段
上的點，且
， 
， 
.
（1）求證： 
平面
；
（2）若
與平面
所成的角為
，求平面
與平面
所成的銳二面角.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中， 已知圓
，橢圓
，
為橢圓右頂點．過原點
且異于坐標軸的直線與橢圓
交于
兩點，直線
與圓的另一交點為
，直線
與圓的另一交點為
，其中
．設直線
的斜率分別為
．
（1）求
的值；
（2）記直線
的斜率分別為
，是否存在常數
，使得
？若存在，求值；若不存在，說明理由；
（3）求證：直線
必過點．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
的左右焦點分別為
，與
軸正半軸交于點
，若
為等腰直角三角形，且直線
被圓
所截得的弦長為2.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線
：
與橢圓交于點
，線段
的中點為
，射線
與橢圓交于點
，點
為
的重心，求證：的面積
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學校藝術節對同一類的
四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下:
甲說:“
或
作品獲得一等獎”； 乙說:“
作品獲得一等獎”；
丙說:“
,兩項作品未獲得一等獎”； 丁說:“作品獲得一等獎”.
若這四位同學只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是（ ）
A. 作品 B. 作品 C. 作品 D. 作品
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