Question

【題目】設(shè)f（x）= 為奇函數(shù)，a為常數(shù)，
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）若x∈[3，4]，不等式f（x）＞（ ）x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數(shù)，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ ，

∴ ，

即（1+ax）（1﹣ax）=﹣（x+1）（x﹣1），

即1﹣a2x2=1﹣x2，

即a2=1，

∴a=﹣1或a=1，

若a=1，則 = 不滿足條件，舍去，

故a=﹣1．

（2）證明：∵ ，（x＞1），

設(shè)1＜x1＜x2，則△x=x2﹣x1＞0

∵ ，

∴

∴△y=f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增

（3）解：設(shè) ，

則g（x）在[3，4]上是增函數(shù)

∴g（x）＞m對(duì)x∈[3，4]恒成立，

∴m＜g（3）=﹣

【解析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立條件關(guān)系即可求a的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增；（3）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用參數(shù)分離法即可求出m的取值范圍．