Question

△ABC中，角A、B、C所對應的邊分別為a，b，c，若

a-c

sinB-sinC

=

b

sinA+sinB

（1）求角A；
（2）若函數f（x）=cos²（x+A）-sin²（x-A）+

1

2

cosx，x∈[A，π]，求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡得到關系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出關系式代入求出cosA的值，即可確定出A的度數；
（2）把A的度數代入f（x），利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后利用二次函數的性質及余弦函數的值域確定出f（x）值域即可．

解答： 解：（1）由

a-c

sinB-sinC

=

b

sinA+sinC

，得：

a-c

b-c

=

b

a+c

，即a²=b²+c²-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵A為三角形內角，
∴A=

π

3

；
（2）由（1）得：f（x）=cos²（x+

π

3

）-sin²（x-

π

3

）+

1

2

cosx
=

1+cos(2x+ 2π 3 )

2

-

1-cos(2x- 2π 3 )

2

+

1

2

cosx
=-

1

2

cos2x+

1

2

cosx
=-cos²x+

1

2

cosx+

1

2

=-t²+

1

2

t+

1

2

，
其中t=cosx∈[-1，

1

2

]（

π

3

≤x≤π），
由圖象可得：當t=-1時，f_min（x）=-1，當t=

1

4

時，f_max（x）=

9

16

，
則f（x）的值域為[-1，

9

16

]．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數公式，二次函數的性質，以及余弦函數的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．