Question

已知函數f（x）=lnx+x²-ax（a為常數）．
（1）若x=1是函數f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）若對任意的a∈（1，2）存在x₀∈[1，2]，使不等式f（x₀）＞mlna恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：求導f′（x）=

1

x

+2x-a，
（1）由題意得，f′（1）=1+2-a=0從而解得a=3，檢驗即可；
（2）當a∈（1，2），f′（x）=

2(x- a 4 )2+1- a2 8

x

＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函數，求最大值，化對任意的a∈（1，2）存在x₀∈[1，2]，使不等式f（x₀）＞mlna恒成立為對任意的a∈（1，2），不等式ln2+4-2a＞mlna恒成立；從而得m＜

4+ln2-2a

lna

恒成立，令g（a）=

4+ln2-2a

lna

，（1＜a＜2）；求函數的最小值即可．

解答： 解：f′（x）=

1

x

+2x-a，
（1）由題意得，f′（1）=1+2-a=0，
解得，a=3；
經檢驗，x=1是函數f（x）的一個極小值點；
（2）當a∈（1，2），f′（x）=

2(x- a 4 )2+1- a2 8

x

＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函數，
故f（x）在[1，2]上的最大值為f（2）=ln2+4-2a；
故對任意的a∈（1，2）存在x₀∈[1，2]，使不等式f（x₀）＞mlna恒成立可化為
對任意的a∈（1，2），不等式ln2+4-2a＞mlna恒成立；
即m＜

4+ln2-2a

lna

恒成立；
令g（a）=

4+ln2-2a

lna

，（1＜a＜2）；
則g′（a）=

-2alna+2a-4-ln2

aln2a

，
令M（a）=-2alna+2a-4-ln2，
則M′（a）=-2lna＜0，
則M（a）在（1，2）上是減函數，
M（a）＜M（1）=2-4-ln2＜0，
故g′（a）＜0；
則g（a）=

4+ln2-2a

lna

在（1，2）上是減函數，
故m≤g（2）=1，
故實數m的取值范圍為：m≤1．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了恒成立問題，屬于難題．