Question

【題目】已知函數f（x）= sin（ωx+φ）+2sin2 ﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數，且相鄰兩對稱軸間的距離為 ．
（1）當x∈（﹣ ， ）時，求f（x）的單調遞減區間；
（2）將函數y=f（x）的圖象沿x軸方向向右平移 個單位長度，再把橫坐標縮短到原來的 （縱坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象．當x∈[﹣ ， ]時，求函數g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= sin（ωx+φ）+2sin2 ﹣1= sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+ ）

∵函數是奇函數，0＜φ＜π

∴φ=﹣ ，

∴f（x）=2sinωx，

∵相鄰兩對稱軸間的距離為 ，

∴ =π，

∴ω=2，

∴f（x）=2sin2x，

∵x∈（﹣ ， ），

∴2x∈（﹣π， ），

∴f（x）的單調遞減區間為（﹣ ，﹣ ）

（2）解：由題意，g（x）=2sin（x﹣ ）．

當x∈[﹣ ， ]時，x﹣ ∈[﹣ π，﹣ ]，

∴函數g（x）的值域為[﹣ ，﹣1]

【解析】（1）f（x）=2sin（ωx+φ+ ），利用函數是奇函數，0＜φ＜π，且相鄰兩對稱軸間的距離為 ，即可求出當x∈（﹣ ， ）時，f（x）的單調遞減區間；（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，可得y=g（x），即可求出當x∈[﹣ ， ]時，求函數g（x）的值域．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用兩角和與差的正弦公式和二倍角的正弦公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩角和與差的正弦公式：；二倍角的正弦公式：．