Question

【題目】設曲線 ，點為的焦點，過點作斜率為1的直線與曲線交于，兩點，點，的橫坐標的倒數和為-1.

（1）求曲線的標準方程；

（2）過焦點作斜率為的直線交曲線于，兩點，分別以點，為切點作曲線的切線相交于點，過點作軸的垂線交軸于點，求三角形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

（1）設直線的方程，與拋物線聯立，由點，的橫坐標的倒數和為-1，結合韋達定理代入求值即可；（2）設的方程為，與拋物線聯立求得,求過M,N的切線方程求得Q(2k,0),利用點到線的距離求點到直線/的距離為，利用求解即可

（1）由題意可知：，故可設直線的方程為即

聯立方程可得∴

由題意知：，即，即，得.

∴曲線的標準方程為.

（2）由題意知直線的斜率是存在的，故設的方程為，

設與曲線相交于點，

聯立方程可得∴

∴.

由，得. ∴.

∴，∴……①

∴，∴……②

上述兩式相減得：，∴.∴點坐標為.

∴點到直線的距離為.

∴

又∵，∴.易知當時，的面積最小，且為2，

即.