Question

【題目】已知函數，設為曲線在點處的切線，其中.

（Ⅰ）求直線的方程（用表示）；

（Ⅱ）求直線在軸上的截距的取值范圍；

（Ⅲ）設直線分別與曲線和射線（）交于， 兩點，求的最小值及此時的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ） ;（Ⅲ）， ．

【解析】試題分析：（Ⅰ） 對求導數，由此得切線的方程為： .

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，直線在軸上的截距為．設新的函數， 求導，求最值即可.

（Ⅲ）過作軸的垂線，與射線交于點，得到△是等腰直角三角形， ．設 ， 求最值即可.

試題解析：

（Ⅰ） 對求導數，得， 所以切線的斜率為，由此得切線的方程為： ， 即 .

（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直線在軸上的截距為．

設 ， ．所以 ，令，得．

， 的變化情況如下表：

		↘		↘

所以函數在上單調遞減，所以， ，

所以直線在軸上的截距的取值范圍是．

（Ⅲ）過作軸的垂線，與射線交于點，

所以△是等腰直角三角形．所以 ．

設 ， ，

所以 ．

令 ，則，

所以 在上單調遞增，

所以 ，

從而 在上單調遞增，所以 ，此時， ．

所以 的最小值為，此時．

點晴:本題主要考查導數與切線，導數與最值問題. 解答此類問題，應該首先確定函數的定義域，第二問中利用導數把直線在軸上的截距為．設新的函數， 求導，求最值即可;第三問中借助幾何關系．得到 ， 求最值即可.