Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90⁰，PA=PB，PC=PD.

(I) 試判斷直線CD與平面PAD是否垂直，并簡述理由；
（II）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（III）如果CD=AD+BC，二面角P-CB-A等于60⁰，求二面角P-CD-A的大小.

Answer 1

（I）不垂直.理由見解析；（II）詳見解析；（III）二面角P-CD-A的大小為60⁰.

試題分析：（I）首先結合條件憑借自己的空間想象力判斷.在本題中，PC=PD，則∠PCD=∠PDC不為直角，由此可知，直線CD與平面PAD不可能垂直.（II）證面面垂直，首先考慮證哪條線垂直哪個面.結合題設PA=PB取AB的中點E ，則PE⊥AB.再結合結論可知必有PE⊥平面ABCD，所以我們就考慮證明PE⊥平面ABCD.
（III）取AB、CD的中點有E、F，連結PE，PF，EF，則易得∠PFE即為二面角P-CD-A的平面角，且三角形PEF是一個直角三角形. 利用題設找到邊與邊的關系，在三角形PEF中即可求得∠PFE的大小.
試題解析：（I）不垂直
假設直線CD與平面PAD垂直，則CD⊥PD。
而在△PCD中，由PC=PD得∠PCD=∠PDC
∴∠PDC＜90⁰，這與CD⊥PD矛盾，
因此, 直線CD與平面PAD不垂直。
（II）取AB、CD的中點有E、F，連結PE，PF，EF，
由PA=PB，PC="PD," 得  PE⊥AB，PF⊥CD.
∵EF為直角梯形的中位線  ∴EF⊥CD、
又PFEF=F    ∴CD⊥平面PEF
由PE平面PEF   ∴CD⊥PE
又梯形的兩腰AB與CD必相交，∴PE⊥平面ABCD
又PE平面PAB    ∴平面PAB⊥平面ABCD
（III）∠PFE即為二面角P-CD-A的平面角
作EG⊥BC于G，連PG。由三垂線定理得BC⊥PG，則∠PGE為二面角P-BC-A的平面角即∠PGE=60⁰
由已知得EF=（AD+BC）=，EG=CF=CD，∴EF=EG
而   ∴∠PFE=∠PGE=60⁰
即二面角P-CD-A的大小為60⁰。