Question

【題目】如圖，在四棱柱中，側面底面，底面為直角梯形，其中，，為中點.

（1）求證：平面；

（2）求銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接，證明四邊形為平行四邊形，所以，所以平面；（2）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立坐標系，利用兩個半平面的法向量求得二面角的余弦值為.

試題解析：

（1）證明：

如圖，連接，則四邊形為正方形，所以，且，．．．．2分

故四邊形為平行四邊形，所以，

又平面平面，

所以平面．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）因為為的中點，所以，又側面底面，

交線為，故底面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的坐標系，

則，

∴，

設為平面的一個法向量，由，得，

令，則，∴．

又設為平面的一個法向量，由，得，令，

則，∴，．．．．．．．．．．．．．9分

則，故所求銳二面角的余弦值為．．．．．．．．．12分

注：第2問用幾何法做的酌情給分．