已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
，且經過點
，直線
交橢圓于不同的兩點A，B.
（Ⅰ）求橢圓的方程;
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線
不過點M，求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形
（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）參考解析
解析試題分析：（Ⅰ）已知橢圓的焦點在x軸上，離心率為，且經過點，利用待定系數法求出橢圓的方程.
（Ⅱ）由于直線交橢圓于不同的兩點A，B.所以直線與橢圓方程聯立消去y后，得到關于x的一元二次方程，這個方程的的判別式要大于零即可求出m的范圍.
（Ⅲ）直線不過點M，要求證直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形.將該問題等價轉化為直線MA與直線MB的斜率何為零.所以通過計算兩直線的斜率，并用A,B的坐標表示，通過通分整理再結合（Ⅱ）所得的韋達定理即可得分子為零.及證明了斜率和為零從而可結論.
試題解析：(Ⅰ)設橢圓的方程為
，因為
，所以
，又因為，所以
，解得
，故橢圓方程為
(Ⅱ)將
代入并整理得
，
，解得
（Ⅲ）設直線
的斜率分別為
和
，只要證明
.設
，
，
則
。
考點：1.待定系數求橢圓方程.2.直線與橢圓的位置關系.3.直線與橢圓的應用.
新思維假期作業暑假吉林大學出版社系列答案
藍天教育暑假優化學習系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
兩焦點坐標分別為
,
，一個頂點為
.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）是否存在斜率為
的直線
，使直線與橢圓交于不同的兩點
，滿足
. 若存在，求出
的取值范圍；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
、
為橢圓
的左、右焦點，且點
在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過
的直線
交橢圓于
兩點，則
的內切圓的面積是否存在最大值？
若存在其最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）已知橢圓
的離心率為
，
在橢圓C上，A，B為橢圓C的左、右頂點．
(1)求橢圓C的方程：
(2)若P是橢圓上異于A，B的動點，連結AP，PB并延長，分別與右準線
相交于M1，M2.問是否存在x軸上定點D，使得以M1M2為直徑的圓恒過點D?若存在，求點D的坐標：若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某校同學設計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區域）”，其中
、
是過拋物線
焦點
的兩條弦，且其焦點
，
，點
為
軸上一點，記
，其中
為銳角．
（1）求拋物線方程；
（2）如果使“蝴蝶形圖案”的面積最小，求的大小？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知雙曲線方程2x2－y2＝2.
(1)求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程；
(2)過點(1,1)能否作直線l，使l與雙曲線交于Q1，Q2兩點，且Q1，Q2兩點的中點為(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
的方程為
，雙曲線
的兩條漸近線為
、
.過橢圓的右焦點
作直線
，使
，又與
交于點
，設與橢圓的兩個交點由上至下依次為
、
.
（1）若
與的夾角為
，且雙曲線的焦距為
，求橢圓的方程；
（2）求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的中心在坐標原點，短軸長為4，且有一個焦點與拋物線
的焦點重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知經過定點M（2,0）且斜率不為0的直線
交橢圓C于A、B兩點，試問在x軸上是否另存在一個定點P使得
始終平分
？若存在求出
點坐標；若不存在請說明理由．
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，求曲線過點
的切線方程。