Question

已知函數f（x）=ln（a+x）-ln（a-x）（a＞0）．
（Ⅰ）曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=2x，求a的值；
（Ⅱ）當x≥0時，f（x）≥2x+

2x3

3

，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數的導數，利用導數的幾何意義即可求a的值；
（Ⅱ）當x≥0時，構造函數g（x）=f（x）-2x-

2x3

3

，求函數的導數，利用導數研究函數的單調性即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數的導數f′（x）=

1

a+x

+

1

a-x

，
曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率k=f′（0）=

1

a

+

1

a

=

2

a

=2，
解得a=1；

（Ⅱ）當x≥0時，設g（x）=f（x）-（2x+

2x3

3

），
則g′（x）=f′（x）-2-2x²=

1

a+x

+

1

a-x

-2-2x²=

2a

a2-x2

-2-2x²=

2

a2-x2

[x⁴-（a²-1）x²+a-a²]
①當0＜a＜1時，a²-1＜0，a-a²＞0，
當0≤x＜a時，x⁴-（a²-1）x²+a-a²＞0，即g′（x）≥0，
則函數g（x）在[0，a）上為增函數，
∴g（x）≥g（0）=0，即此時f（x）≥2x+

2x3

3

，成立．
②當a＞1時，a²-1＞0，a-a²＜0
∴0＜x＜

a2-1

＜a時，x²-（a²-1）＜0，
從而x⁴-（a²-1）x²+a-a²＜0，即g′（x）＜0，
即函數g（x）在（0，

a2-1

）上為減函數，
∴當0＜x＜

a2-1

時，g（x）＜g（0）=0，與題意不符，
綜上當x≥0時，f（x）≥2x+

2x3

3

時．a的取值范圍是0＜a＜1．

點評：本題主要考查導數的綜合應用，利用導數的幾何意義以及構造函數是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．