Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0），B（0，一2），點C滿足，其中，且．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡與橢圓交于兩點M,N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：為定值；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于，求橢圓長軸長的取值范圍。

Answer 1

（1）。
（2）由
以MN為直徑的圓過原點O，
為定值。
（3）橢圓長軸的取值范圍是。

解析試題分析：（1）設，由可得

有，即點C的軌跡方程為                 4分
（2）由
設
則
∵以MN為直徑的圓過原點O，

為定值               9分
（3）



∴橢圓長軸的取值范圍是                     12分
考點：本題主要考查軌跡方程求法，橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系。
點評：中檔題，本題求軌跡方程，主要運用的是平面向量的線性運算及向量的坐標運算和向量的相等。研究直線與圓錐曲線的位置關系，往往應用韋達定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實現解題目的。