Question

（2013•金山區一模）設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F₁、F₂，線段OF₁、OF₂的中點分別為B₁、B₂，且△AB₁B₂是面積為4的直角三角形．過B₁作直線l交橢圓于P、Q兩點．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若PB₂⊥QB₂，求直線l的方程；
（3）設直線l與圓O：x²+y²=8相交于M、N兩點，令|MN|的長度為t，若t∈[4，2

7

]，求△B₂PQ的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設所求橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，右焦點為F₂（c，0）．已知△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，故∠B₁AB₂=90°，可得c=2b，在Rt△AB₁B₂中，S△AB1B2=b2=4，從而a²=b²+c²=20．即可得到橢圓的方程．
（2）由（1）得B₁（-2，0），可設直線l的方程為x=my-2，代入橢圓的方程，得到根與系數的關系，利用PB₂⊥QB₂，?

B2P

•

B2Q

=0，即可得到m．
（3）當斜率不存在時，直線l：x=-2，此時|MN|=4，S=

16 5

5

，當斜率存在時，設直線l：y=k（x+2），利用點到直線的距離公式可得圓心O到直線l的距離d=

|2k|

k2+1

，可得t=|MN|=2

R2-d2

≤2

7

，得k的取值范圍；把直線l的方程代入橢圓的方程點到根與系數的關系，代入S=

1

2

×|B₁B₂|×|y₁-y₂|，再通過換元，利用二次函數的單調性即可得出S的取值范圍．

解答：解：（1）設所求橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，右焦點為F₂（c，0）．
因△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，故∠B₁AB₂=90°，得c=2b，
在Rt△AB₁B₂中，S△AB1B2=b2=4，從而a²=b²+c²=20．
因此所求橢圓的標準方程為：

x2

20

+

y2

4

=1．
（2）由（1）得B₁（-2，0），可設直線l的方程為x=my-2，代入橢圓的方程

x2

20

+

y2

4

=1．化為（5+m²）y²-4my-16=0．
設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則y1+y2=

4m

m2+5

，y1•y2=-

16

m2+5

，
又

B2P

=(x1-2，y1)，

B2Q

=(x2-2，y2)，B₂P⊥B₂Q，
所以

B2P

•

B2Q

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=（m²+1）y₁y₂-4m（y₁+y₂）+16=

-16(m2+1)

m2+5

-

16m2

m2+5

+16=

-16m2+64

m2+5

=0，
∴m²=4，解得m=±2；
所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為：x+2y+2=0和x-2y+2=0．
（3）當斜率不存在時，直線l：x=-2，此時|MN|=4，S=

16 5

5

，
當斜率存在時，設直線l：y=k（x+2），則圓心O到直線l的距離d=

|2k|

k2+1

，
因此t=|MN|=2

8- 4k2 k2+1

≤2

7

，得k2≥

1

3

，
聯立方程組：

y=k(x+2) x2 20 + y2 4 =1

得（1+5k²）y²-4ky-16k²=0，
由韋達定理知，y1+y2=

4k

1+5k2

，y1y2=-

16k2

1+5k2

，
所以|y1-y2|=4

5

4k4+k2 (1+5k2)2

，
因此S=

1

2

•4•|y1-y2|=8

5

4k4+k2 (1+5k2)2

．
設u=1+5k2，u≥

8

3

，所以S=

8 5

5

-( 1 u + 3 2 )2+ 25 4

，所以S∈[

35

，

16 5

5

)，
綜上所述：△B₂PQ的面積S∈[

35

，

16 5

5

]．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式、三角形的面積計算公式、點到直線的距離公式、二次函數的單調性等基礎知識與基本技能，考查了推理能力、計算能力．