Question

【題目】已知點M（﹣1，0），N（1，0），曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N的距離的倍．

（1）求曲線E的方程；

（2）已知m≠0，設直線：x﹣my﹣1=0交曲線E于A，C兩點，直線：mx+y﹣m=0交曲線E于B，D兩點，若CD的斜率為﹣1時，求直線CD的方程．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣2）2+y2=3．（2）y=﹣x，或y=﹣x+3．

【解析】試題分析：（1）根據已知條件布列（x，y）的方程，化簡得：（x﹣2）2+y2=3；（2）由題易知：l1⊥l2，且兩條直線均恒過點N（1，0），結合圓的幾何性質求得直線CD的方程.

試題解析：

解：（1）設曲線E上任意一點坐標為（x，y），

由題意，，

整理得x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3，

∴曲線E的方程為（x﹣2）2+y2=3．

（2）由題知l1⊥l2，且兩條直線均恒過點N（1，0），

設曲線E的圓心為E，則E（2，0），線段CD的中點為P，

則直線EP：y=x﹣2，設直線CD：y=﹣x+t，

由，解得點，

由圓的幾何性質，，

而，|ED|2=3，，

解之得t=0，或t=3，

∴直線CD的方程為y=﹣x，或y=﹣x+3．