Question

已知橢圓的一個頂點為，焦點在軸上，若右焦點到直線的距離為3.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線與橢圓相交于不同的兩點、，當時，求的取值范圍.

Answer 1

(1)；（2）.

解析試題分析：本題考查橢圓的標準方程和幾何性質、交點問題、直線的斜率、韋達定理等基礎知識，考查數形結合思想，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，根據條件，設橢圓的方程，寫出，得焦點，代入點到直線的距離公式，得，得到橢圓的方程；第二問，直線方程與曲線方程聯立，消，得關于的一元二次方程，據條件有兩個不同實根，所以，解得，利用韋達定理，求得得中點的橫縱坐標，求，由，得，整理得，最后解方程組得.
試題解析：（1）依題意可設橢圓方程為，          .2分
則右焦點的坐標為，                .3分
由題意得，解得，
故所求橢圓的標準方程為.                .5分
（2）設、、，其中為弦的中點，
由，得        .7分
因為直線與橢圓相交于不同的兩點，所以
即   ①，                                .8分
，所以，
從而 ,                            .9分
所以，                       .10分
又，所以，
因而，即  ②，          .11分
把②式代入①式得，解得，           .12分
由②式得，解得，                .13分
綜上所述，求得的取值范圍為.             .14分
考點：1.點到直線的距離公式；2.橢圓的標準方程；3.橢圓的性質；4.韋達定理；5.線線垂直的充要條件.