Question

已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，求以A、D為焦點且經過另外四點的橢圓的標準方程．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：以AD所在直線為x軸，線段AD的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，由已知得2a=2+2

3

，c=2，從而求出橢圓方程為

x2

4+2 3

+

y2

2 3

=1．同理，當焦點在y軸上時，橢圓方程為

x2

2 3

+

y2

4+2 3

=1．

解答： 解：以AD所在直線為x軸，線段AD的垂直平分線為y軸，
建立平面直角坐標系，
得A（-2，0），D （2，0），
∵AD=4，DE=2，
∴由勾股定理得AE=2

3

，
2a=2+2

3

，即a=1+

3

，
∴b²=（1+

3

）²-2²=2

3

，
∴橢圓方程為

x2

4+2 3

+

y2

2 3

=1．
同理，當焦點在y軸上時，
橢圓方程為

x2

2 3

+

y2

4+2 3

=1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．