Question

設函數y=Asin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，x∈R，|φ|＜

π

2

，最高點D的坐標為（

π

8

，2），由最高點D運動到相鄰最低點時，函數曲線與x軸的交點為（

3π

8

，0）．
（1）求A、ω和φ的值．
（2）求函數y分別取得最大值和最小值時的自變量x的集合．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ，可得函數的解析式．
（2）令 2kπ-

π

2

=2x+

π

4

，k∈z，可得：x=kπ-

3π

8

，k∈z；令2kπ+

π

2

=2x+

π

4

，k∈z，可得：x=kπ+

π

8

，k∈z，從而求出函數y分別取得最大值和最小值時的自變量x的集合．

解答： 解：（1）由最高點的縱坐標可得A=2，再根據

T

4

=

3π

8

-

π

8

=

1

4

×

2π

ω

，求得ω=2．
再把D的坐標（

π

8

，2）代入函數解析式可得 2sin（2×

π

8

+φ）=2，結合|φ|＜

π

2

可得φ=

π

4

，
故函數f（x）=2sin（2x+

π

4

）．
（2）令 2kπ-

π

2

=2x+

π

4

，k∈z，可得：x=kπ-

3π

8

，k∈z；
令2kπ+

π

2

=2x+

π

4

，k∈z，可得：x=kπ+

π

8

，k∈z，
故函數y取得最大值時自變量x的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈z}，函數y取得最小值時自變量x的集合是{x|x=kπ-

3π

8

，k∈z}，

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數圖象和性質，屬于基本知識的考查．