Question

【題目】已知(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+...+an(x-1)n ，（其中 ）.
（1）求 a0 及Sn=a1+a2+...+an ；
（2）試比較 Sn 與(n-2)2n+2n2 的大小，并用數學歸納法給出證明過程.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】取 x=1 ，則a0=2n ；

取 x=2 ，a0+a1+...+an=3n ， 所以Sn=a1+a2+...+an=3n-2n

（2）

【解答】

要比較 Sn 與 (n-2)2n+2n2 的大小，即比較 3n 與(n-1)2n+2n2 的大小.

當 n=1 時，3n>(n-1)2n+2n2 ；

當 n=2,3 時， 3n<(n-1)2n+2n2 ；

當 n=4,5 時， 3n>(n-1)2n+2n2 ；

猜想：當 時， 3n>(n-1)2n+2n2 ，下面用數學歸納法證明：

由上述過程可知， n=4 時結論成立；

假設當n=k( ) 時結論成立，即 3k>(k-1)2k+2k2

兩邊同乘以3得：3k+1>3(k+1)2k+6k2=k2k+1+2(k+1)2+[(k-3)2k+4k2-4k-2]

時，(k-3)2k>0 ， ，所以(k-3)2k +4k2-4k-2>0

所以3k+1>k2k+1+2(k+1)2 ，即 n=k+1 時結論也成立.

當 時， 3n>(n-1)2n+2n2 成立.

綜上所述，當 n=1 或 時， 3n>(n-1)2n+2n2 ；

當 n=2,3 時， 3n<(n-1)2n+2n2 .

【解析】本題主要考查了歸納推理，解決問題的關鍵是（1）采用賦值法，令 ，右邊= =左邊= ， 也采用賦值法，令 ；
（2）根據（1）得到 ，等于比較 與 的大小，首先賦幾個特殊值，采用不完全歸納法，得到答案，然后再用數學歸納法證明.
【考點精析】利用歸納推理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理．