Question

已知直線L：kx-y-3k=0，圓M：x²+y²-8x-2y+9=0
（1）求證：直線L與圓M必相交；
（2）當圓M截L所得弦最短時，求k的值，并求L的直線方程．

Answer 1

分析：（1）有直線的方程可得直線L過定點A，而點A在圓M的內部，從而可得直線L與圓M必相交．
（2）由于當弦長最短時，AC和直線L垂直，求得直線l的斜率，再利用點斜式求得L的直線方程．

解答：解：（1）∵kx-y-3k=0，即y=k（x-3），顯然它的圖象經過定點A（3，0），而3²+0²-8×3-2×0+9=-6＜0，所以，點A（3，0）在圓M內，
所以：直線L與圓一定相交．
（2）由圓x²+y²-8x-2y+9=0得：（x-4）²+（y-1）²=8，它的圓心為C（4，1），由弦長最短，可得AC和直線L垂直，
故有：

1-0

4-3

•kl=-1，解得 k_l=-1，
∴直線l的方程為：y-0=-1（x-3），即 x+y-3=0．

點評：本題主要考查直線過定點問題，直線和圓的位置關系，用點斜式求直線的方程，屬于中檔題．