Question

【題目】在平面直角坐標系中，點， ，動點滿足.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若直線與軌跡有且僅有一個公共點，且與直線相交于點，求證：以為直徑的圓過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）利用橢圓的定義判定軌跡為橢圓，并求出，a,b,從而寫出標準方程；（2）以為直徑的圓過定點可轉化為，利用向量可比較容易證明,先聯立方程，消元得，可得， ，從而， ，根據數量積為0即可證明.

試題解析：

（1）解：因為

即

由橢圓定義可知動點的軌跡是以為焦點的橢圓

所以，

所以橢圓的方程為.

（2）證明：由，

消去得

如圖，設點，依題意，

∵直線與軌跡有且僅有一個公共點

∴由，

可得.

此時， ，即， ，

∴，

由，解得

∴

由

可得，

∴

∴

∴以為直徑的圓過定點.