Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥側面AC₁．

（1）求證：BE=EB₁；
（2）若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角（銳角）的度數．
注意：在下面橫線上填寫適當內容，使之成為（Ⅰ）的完整證明，并解答（Ⅱ）．

（1）證明：在截面A₁EC內，過E作EG⊥A₁C，G是垂足．
①∵

 

∴EG⊥側面AC₁；取AC的中點F，連接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵

 

∴BF⊥側面AC₁；得BF∥EG，BF、EG確定一個平面，交側面AC₁于FG．
③∵

 

∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，
④∵

 

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，
⑤∵

 

∴FG=

1

2

AA1=

1

2

BB1，即BE=

1

2

BB1，故BE=EB1．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是棱柱的結構特征及二面角及其度量，
（1）要證BE=EB₁；即證E為BB₁的中點；由截面A₁EC⊥側面AC₁．我們可以在截面A₁EC內，過E作EG⊥A₁C，G是垂足，則易證FG=BE，我們可轉化為FG=

1

2

AA1，由中位線性質，我們易得答案．
（2）分別延長CE、C₁B₁交于點D，連接A₁D．我們易得∠CA₁C₁是平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成銳二面角的平面角，解三角形CA₁C₁即可得到答案．

解答：
解：（Ⅰ）①面A₁EC⊥側面AC₁
②面ABC⊥側面AC₁
③BE∥側面AC₁
④BE∥AA₁
⑤AF=FC
（Ⅱ）解：分別延長CE、C₁B₁交于點D，連接A₁D．
∵EB₁∥CC1，EB1=

1

2

BB1=

1

2

CC1，
∴DB1=

1

2

DC1=B1C1=A1B1，
∵∠B₁A₁C₁=∠B₁C₁A₁=60°，
∠DA₁B₁=∠A₁DB₁=

1

2

（180°-∠DB₁A₁）=30°，
∴∠DA₁C₁=∠DA₁B₁+∠B₁A₁C₁=90°，即DA₁⊥A₁C₁
∵CC₁⊥面A₁C₁B₁，即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影，根據三垂線定理得DA₁⊥A₁C，
所以∠CA₁C₁是所求二面角的平面角．
∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁，∠A₁C₁C=90°，
∴∠CA₁C₁=45°，即所求二面角為45°

點評：本小題考查空間線面關系，正三棱柱的性質，邏輯思維能力，空間想象能力及運算能力． 求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠CA₁C₁為所求二面角的平面角，通過解∠CA₁C₁所在的三角形求得∠CA₁C₁．其解題過程為：作∠CA₁C₁→證∠CA₁C₁是二面角的平面角→計算∠CA₁C₁，簡記為“作、證、算”．